La grande idée de la relativité générale est de concevoir la gravité non pas comme une force agissant à distance, mais comme la courbure de l'Espace-temps lui-même. Ainsi, la gravité devient une manifestation naturelle de la structure géométrique de l'espace et du temps, et non une force isolée.

Généralités

Notations

Notation d'Einstein

La notation d'Einstein est une sommation implicite tel que:
$$\delta_{ij}\,dx_i\,dx_j\equiv \sum_{ij}\delta_{ij}\,dx_i\,dx_j $$
On appelle \(\delta_{ij}\) le coefficient de la métrique de l'espace cartésien.

Changement de coordonnées dans l'espace

Les changements de coordonnées \(X^i\to X'^i(X^j)\) tel que l'élément de longueur \(dl^2\) est invariant.
$$dl^2={{\delta_{ij}dX^i dX^j}}$$
Exemple:
Cette transformation \(X^{'i}= R^i_j(X^i -d^j)\) en euclidien, laisse invariant \(dl^2\).
\(R^i_j\) est une rotation et \(d^j\) est un déplacement.

Elément de longueur en coordonnées générales

L'élément de longueur \(dl^2\) s'écrit de manière générale:
$$dl^2={{g_{ab}(x)dx^a dx^b}}$$
Avec:

• \(g_{ab}(x)\): la Métrique

Point de vue Newtonien

Du point de vue newtonien, la gravité est une force d'attraction qui agit instantanément entre deux masses. On peut également définir un Champ de gravitation créé par chaque masse.
Dans ce modèle, l'espace et le temps sont fixes et absolus, et la gravité est une force extérieure qui s'applique indépendamment de la structure de l'univers.

L'espace absolu

L'espace définie avant la relativité est un espace affine tridimensionnel et métrique (notion de distance).

Relativité restreinte

Relativité restreinte

Définitions

Espace-temps
Coordonnées covariantes et controvariantes
Géodésiques

Principe d'équivalence faible

Enoncé du principe d'équivalence faible

Le principe d'équivalence faible repose sur l'idée que la masse inerte (celle qui mesure la résistance d'un objet à l'accélération) est égale à la masse gravitationnelle (celle qui mesure la réponse d'un objet à un champ gravitationnel). Cela implique que, localement, il est impossible de distinguer entre une accélération due à un champ gravitationnel et une accélération due à un mouvement dans un référentiel accéléré
Le principe d'équivalence faible assure que les effets de la gravité sont localement indiscernables des effets d'une accélération.

Quantités conservées

Quantités conservées dans un espace-temps

Pour déterminer les quantités conservées dans un espace-temps \((M,g)\), on s'intéresse au Lagrangien (ici pour une particule libre \(\to \mathcal {{L\propto\left(\frac{ds}{d\lambda}\right)^2}}\)) :
$$\mathcal L={{\sqrt{-g_{\alpha\beta} \frac{dx^{\alpha } }{d\lambda} \frac{dx^{\beta} }{d\lambda} } }}$$
Avec :

• \(g\) : la Métrique
• \(\lambda\) : le paramètre ayant le même rôle que le temps en classique

On utilise ensuite l'Equation de Lagrange qui nous donnera ce qui est conservé.